Les nombres peuvent être représentés sur un axe que l’on appelle l’axe des réels.

Ils seront représentés sous la forme de vecteurs.

Qu’appelle t’on vecteur ?  Ce sont des longueurs orientées c'est-à-dire qui ont une direction.

Tous les réels à droite de zéro sont des réels positifs.

 Tous les réels à gauche de zéro sont des réels négatifs.

 

 

 

 

Comme le nombre + 1 est sur une droite, le nombre i est aussi sur une droite.

Ils ne peuvent pas partager pas la même.

 

 L’axe des réels est occupé par les nombres réels alors que l’axe des imaginaires est occupé par les imaginaires.

Où donc est l’axe des imaginaires par rapport à l’axe des réels ?

On sait que multiplier par (-1) se traduit par une rotation de 180° de centre 0.

On sait que multiplier deux fois successivement par i revient à multiplier par (-1).

i x i= (i)² = -1

Alors en décomposant, on arrive à :

 +1x i = i puis i x i = -1

                  i est la moyenne géométrique entre +1 et –1

i se situe entre +1 et –1 mais pas sur le même axe.

 On peut dire que multiplier par i une seule fois se traduit par la moitié de la  multiplication par -1 soit une rotation de 90°.

On arrive à la conclusion que les deux axes sont donc perpendiculaires au point 0.

Nous pouvons maintenant donner la représentation graphique de i :

Il est sur un axe perpendiculaire à celui des réels !

Le nombre imaginaire peut donc s'écrire :

C'est la forme trigonométrique du nombre imaginaire.

 

Ils seront placés sur un axe orthogonal à l'axe des réels.

Les nombres imaginaires purs peuvent donc s'écrirent :

Les nombres imaginaires purs appartiennent à un ensemble que l’on note : I

 

 

 

Les nombres complexes étant une combinaison entre les nombres réels et les nombres imaginaires,

 ils pourrons être placés dans le plan complexe (en dehors des 2 axes).

Tout nombre complexe z peut s'écrire :

z = a+bi =(cos + i sin)  

si on pose r = alors :

z = r(cos + i sin)  

est appelé argument  du nombre complexe

r est appelé module du nombre complexe

 

Soit deux nombres imaginaires complexes :

z1 = 1+ i

z2 = -2+2i

Les nombres imaginaires complexes appartiennent à un ensemble que l’on note : C